二分查找

例题：返回长度为N、按升序排列的整数数组nums中第一个大于等于target的数的位置，如果所有数都小于等于target，返回数组长度。注意算法时间复杂度必须为$O(\log N)$

考虑二分查找（红蓝染色法），指定$L,R$分别为询问的左右边界，考虑开区间的情况即$(L,R)$，$M=\lfloor (L+R)/2\rfloor$为当前正在询问的数字。

如果nums[M] < target，则表明M左边的数组都小于target，需要查询M右边的数字，更新L=M，即将边界更新为(M, R)，否则表明nums[M]右侧的数都大于等于target，第一个大于等于target的数一定为M或在M左侧，更新R=M，即将边界更新为(L,M)，终止条件为L + 1 >= R，此时R指向的数就一定为第一个给大于等于target的数。

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

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输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

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输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

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输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

  • 0 <= nums.length <= 10^5
  • -10^9 <= nums[i] <= 10^9
  • nums 是一个非递减数组
  • -10^9 <= target <= 10^9

注意到题目中提到数组元素按非递减顺序排序，则可以采用二分查找法。

首先实现方法int lowerBound(int[] nums, int target)：给定一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target，找出第一个大于等于target的数的位置。那么可以将其他问题使用该方法解决：

  • 找出第一个大于target的数的位置：lowerBound(nums, target+1)

  • 找出最后一个小于target的数位置：lowerBound(nums, target)-1

  • 找出最后一个小于等于target的数位置：lowerBound(nums, target+1)-1

这里使用两侧开区间的循环不变式，即(left, right)，循环不变式中所有在left以及left左边的数都必定严格小于target，所有在right以及right右边的数都必定大于等于target，则代码可写为：

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class Solution {
    /**
     * 求解非递减nums数组中第一个大于等于target的数的索引(此处使用开区间)
     * @param nums 非递减整数数组
     * @param target 目标值
     * @return 目标值的索引
     */
    public int lowerBound(int [] nums, int target) {
        int left = -1, right = nums.length, mid;
        while (left + 1 < right) { // (left, right)当left+1 == right时就没有元素了，退出循环
            mid = left + (right - left) / 2; // 防止整形溢出
            if (nums[mid] < target) { // < 保证left以及left左边的数都是严格小于target
                left = mid;     // (mid+1, right)
            }
            else { // 即nums[mid] >= target 保证right右边的数都是大于等于target
                right = mid;    // (left, mid)
            }
        }
        return right;
    }
    
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int start = lowerBound(nums, target);	// 求第一个大于等于target的数的索引
        if (start == nums.length || nums[start] != target) {
            return new int[] {-1, -1};
        }
        
        // 注意上面start判断存在的话 表明target存在 则end必然存在
        // 求第一个大于等于target+1的数的索引前一个索引 即最后一个小于等于target的数的索引
        int end = lowerBound(nums, target + 1) - 1;
        return new int[] {start, end};
    }
}

礼盒的最大甜蜜度

2517. 礼盒的最大甜蜜度 - 力扣（LeetCode）

给你一个正整数数组 price ，其中 price[i] 表示第 i 类糖果的价格，另给你一个正整数 k 。

商店组合 k 类 不同 糖果打包成礼盒出售。礼盒的 甜蜜度 是礼盒中任意两种糖果 价格 绝对差的最小值。

返回礼盒的 最大 甜蜜度。

示例 1：

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输入：price = [13,5,1,8,21,2], k = 3
输出：8
解释：选出价格分别为 [13,5,21] 的三类糖果。
礼盒的甜蜜度为 min(|13 - 5|, |13 - 21|, |5 - 21|) = min(8, 8, 16) = 8 。
可以证明能够取得的最大甜蜜度就是 8 。

示例 2：

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输入：price = [1,3,1], k = 2
输出：2
解释：选出价格分别为 [1,3] 的两类糖果。 
礼盒的甜蜜度为 min(|1 - 3|) = min(2) = 2 。
可以证明能够取得的最大甜蜜度就是 2 。

示例 3：

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输入：price = [7,7,7,7], k = 2
输出：0
解释：从现有的糖果中任选两类糖果，甜蜜度都会是 0 。

此处可以得知可能的甜蜜度的下限为0，上限为最大价格减去最小价格。所以先对price升序排序，确定好甜蜜度的上下限再进行二分查找。查找时的判断条件为判断当前甜蜜度能否满足至少有k类糖果符合甜蜜度的要求。

对于条件判断，可以考虑相邻元素之间的差值，以price[0]初始化参考价格prev，向后遍历，如果price[i] - prev < mid，则继续向后遍历；如果price[i] - prev >= mid，则表明price[i]符合当前甜蜜度的要求，添加到选择的糖果类别中并将prev更新为price[i]。

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class Solution {
    public int maximumTastiness(int[] price, int k) {
        Arrays.sort(price);
        int cnt = 0, ans = 0, prev;
        int left = 0, right = price[price.length-1] - price[0], mid;
        while (left <= right){ // [left, right]
            mid = left + (right - left) / 2;
            cnt = 1;
            prev = price[0];
            for (int i = 1; i < price.length; ++i){
                if (price[i] - prev >= mid) {
                    cnt++;
                    prev = price[i];
                }
            }
            if (cnt < k) {
                right = mid - 1; // 当前甜蜜度太高, 降低
            }
            else {
                ans = mid;	// 当前甜蜜度符合要求, 是可能的最大甜蜜度
                left = mid + 1; // 继续寻找是否有满足要求的更大的甜蜜度
            }
        }
        return ans;
    }
}